【斐波那契数值——波浪理论的数学基础】

正如埃利奥特本人所承认的，他理论的基础是数的序列，这是由伟大的意大利数学家早在13世纪就发现的。
　　比萨商人列昂纳多(1180～1240年)，其更为人知的名字是绰号斐波那契，无疑是中世纪最重要的数学家。他的著作对数学学科的发展和欧洲数学知识的传播起到不可估量的重要作用。列昂纳多的生活和学术生涯与欧洲科学文化的发展紧密相连。
　　斐波那契时代距文艺复兴还很遥远，但历史却慷慨地赠予意大利一段美妙的时间，完全可以称之为即将到来的文艺复兴时期的预演。这一预演是由腓特烈二世领导的，自1220年起，他是神圣罗马帝国的皇帝。腓特烈二世深受南意大利传统的熏陶，与欧洲的基督教王国极其疏远。
　　例如，腓特烈二世对深为他祖父所钟爱的军事比武没有丝毫兴趣。战争之后还提什么保持几个世纪以来的传统呢!特别是当你回忆起，他不好比武而推广更少血腥的数学竞赛，竞争的对手不再互相拳打脚踢而是互相出数学题。真是一个怪人，不是吗？
　　斐波那契先生出人头地的时刻就在这些数学比武中到来了。正是在比武场上他那毋庸置疑的才华得到充分鲜明的展示。当然，这是得益于他的父亲商人波那契给儿子的良好教育。这位商人自己带着儿子来到东方，并且把儿子送到阿拉伯老师那里。您也许记得，当时东方人文化程度很高(即进化得更好)，特别是在数学方面。因此，列昂纳多所接受的是最好的教育，当时最先进的教育。
　　有了这样的教育再加上腓特烈的鼓励政策，斐波那契的学术论文当然得以面世。自然，斐波那契的著作得到腓特烈二世的赏识……噢，先生，国王可是一张大王牌。
　　大王如此重要，教育如此良好，因此，斐波那契一下子就有三部宏篇巨著问世。其中最著名、流传最广的一部叫作《Liber Abaci》。正是由于有了这部书，欧洲才知晓了印度和阿拉伯计数体系，后来这种体系取代了当时传统的罗马数字。斐波那契的著作对此后数学、物理、天文和技术的发展都起到了重要作用。总而言之，斐波那契对那里的作用就相当于祖冲之对于中国。
　　在《Liber Abaci》中到底有什么超自然的东西呢？斐波那契的独到之处在于适用于兔子的公式(确切地说，是其繁殖过程)。没错没错，这里说的就是兔子，白白的，毛茸茸的，人见人爱的兔子。在兔子繁殖的语境中斐波那契举出自己的数列作为对一个数学问题的解答，这个问题就是找到兔子繁殖的公式。原始数据再简单不过：先在一个笼子里放一只雄兔，然后再放一只雌兔，现在共有两只兔子；然后我们就可以休息了，这两个小动物会独立进行操作，经过一定的幸福兔子之夜后，世界上就会出现斐波那契数列中的那个数。
　　斐波那契的数列是这样的：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144(直至无限)。斐波那契数列不仅仅是一大堆数字而已，它有着非常有趣的特性：这些数字之间彼此有着恒
　　定的关系。这种关系如下：
　　任意两个邻数的和都等于数列中的下一个数。例如：3+5=8；5+8=13等等。
　　数列中的任意一个数与下一个数的比值都逐渐接近0.618。
　　例如：
　　1∶1=1
　　1∶2=0.5
　　2∶3=0.67
　　3∶5=0.6
　　5∶8=0.625
　　8∶13=0.615
　　13∶21=0.619 等等。
　　请注意，比值是在0.618周围摇摆，而且摆动范围逐渐减小。为了避免误入歧途，我们现在要明确一下，所谓的摆动范围可不是指幅长，而是围绕”中线”的摆动幅度。简而言之，有报价，也有报价与中间值之间的偏差。个别的报价增加或减少通常没有任何清晰的规律性，至多是有某种模糊的假设。于是人们决定发明出一点确定的东西，决定把这些围绕中间值自发的摇摆称为摆动，并且分析所谓的运动无序程度。
　　任意一个数与前一个数的比值都近似于1.618(这是0.618的逆数)。如：
　　13∶8=1.625
　　21∶13=1.615
　　34∶21=1.619。
　　这两个数越大，其比值越接近0.618和1.618。
　　任意一个数与其后面隔一个数的比值都接近0.382，而与前面隔一个数的比值接近2.618。例如：
　　13∶34=0.382
　　34∶13=2.615等。
　　斐波那契数列还包含着另外一些有趣的关系(系数)。但我们上面所列举的这些最为重要，也最为著名。